Մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես են չափում երկարությունները, մակերեսները, զանգվածները, արագությունները: Հիշենք, օրինակ, թե ինչպես են չափում հատվածի երկարությունը:

Առաջին հերթին պետք է ունենալ չափման միավորն ու գործիքը:

Վերցնենք 1 սմ բաժանումներով քանոն և նրա միջոցով փորձենք չափել 𝐴𝐵 հատվածի երկարությունը:

Տեսնում ենք, որ 𝐴𝐵 հատվածի երկարությունը մեծ է 7 սմ-ից և փոքր է 8սմ-ից:

Եթե համարենք, որ

1. ∣𝐴𝐵∣ = 7 սմ, ապա մենք հաշված կլինենք հատվածի երկարության մոտավոր արժեքը պակասորդով:

2. ∣𝐴𝐵∣=8 սմ, ապա մենք հաշված կլինենք հատվածի երկարության մոտավոր արժեքը հավելուրդով:

Այս դեպքում ասում են, որ 7 սմ-ը և 8 սմ-ը հատվածի մոտավոր արժեքներն են 1 սմ-ի ճշգրտությամբ:

𝐴𝐵 հատվածի երկարության ճշգրիտ և մոտավոր արժեքների տարբերությունը չի կարող 1 սմ-ից ավելի լինել:

Ինչպե՞ս կարելի է մեծացնել չափումների ճշգրտությունը:

Պետք է մանրացնել չափման սանդղակը, այսինքն՝ փոքրացնել չափման միավորը:

Օրինակ՝ եթե 𝐴𝐵 հատվածի երկարությունը չափեինք միլիմետրերով, ապա կստանայինք հատվածի երկարության ճշգրիտ արժեքը՝ 73 մմ:

Մեծության ճշգրիտ և մոտավոր արժեքների տարբերությունը կոչվում է չափման սխալանք:

Օրինակ՝ եթե համարում ենք, որ ∣𝐴𝐵∣=7 սմ, ապա մեր չափման սխալանքը կլինի՝ 73−70=3 մմ:

Իսկ եթե համարել, որ ∣𝐴𝐵∣=8 սմ, ապա սխալանքը կլինի՝ 80−73=7 մմ:

Տեսնում ենք, որ առաջին չափումն ավելի ճշգրիտ է:

Դիտարկենք երկարության չափման մեկ այլ օրինակ:

Օրինակ

Դիցուք հեռավորությունը երկու քաղաքների միջև 7980 կմ է:

Համարելով, որ հեռավորությունը քաղաքների միջև 8000 կմ է, մենք կստանանք մոտավոր արժեք հավելուրդով և թույլ տված կլինենք 8000−7980=20 կմ սխալանք: 

Իսկ եթե համարենք, որ հեռավորությունը քաղաքների միջև 7900 կմ է, մենք կստանանք մոտավոր արժեք պակասորդով և թույլ տված կլինենք ավելի մեծ սխալանք՝ 7980−7900=80 կմ:

Մոտավոր հաշվարկի դեպքում օգտագործում են հետևյալ գրելաձևը՝

7980≈8000

Դասարանական աշխատանք

1. Հաշվեցին խողովակի երկարությունը 1սմ ճշգրտությամբ և ստացան բնական թիվ:

Որքա՞ն է խողովակի երկարության մոտավոր արժեքը պակասորդով, եթե նրա ճշգրիտ երկարությունը 24 2/5 սմ է:
24 սմ

2. Նշիր, թե ինչպե՞ս է կատարվել հետևյալ թվի մոտավոր հաշվարկը՝ պակասորդով, թե՞ հավելուրդով. 98 3/10 ≈ 98

Ընտրիր ճիշտ տարբերակը:

• հավելուրդով
• պակասորդով

3. Իրական հեռավորությունը երկու գյուղերի միջև 55292 մ է: Աշակերտները քարտեզի միջոցով չափեցին այն և ստացան այդ հեռավորության մոտավոր արժեքը՝ 55000 մ:

Որքա՞ն է այդ չափման սխալանքը:
Հավելուրդ

4. Գտիր 8519 թվի մոտավոր արժեքը հարյուրավորի ճշգրտությամբ:
Հավելորդ≈8600
Պակասուրդ≈8500

5. Համարվում է, որ ճեպընթաց գնացքը ըստ չվացուցակի է հասնում ժամանման վայրը, եթե ժամանման սխալը չի գերազանցում 3 րոպեն։ Ըստ չվացուցակի՝ գնացքը պիտի տեղ հասներ ժ. 17:58-ին։ Իրականում գնացքը տեղ է հասել 18-ն անց 2 րոպեին։ Ուշացե՞լ է արդյոք գնացքը։
ԱՅՈ

6. Հատվածի երկարության մոտավոր արժեքը 1 սմ ճշգրտությամբ պակասորդով հաշվելիս չափման սխալը 5 մմ է։ Որքա՞ն կլինի չափման սխալը երկարությունը հավելուրդով հաշվելիս։
5

7. Ժամանակի մոտավոր արժեքը պակասորդով հաշվելիս չափման սխալը 43 վ է, հավելուրդով հաշվելիս՝ 17 վ։ Ի՞նչ ճշգրտությամբ է չափվել ժամանակը։
1 ՐՈՊԵ ճշգրտության

8. Որոշիր 3487 թվի մոտավոր արժեքը՝ հազարավորի ճշգրտությամբ:
Հավելուրդ≈4000
Պակասուրդ≈3000

9. Մարմնի զանգվածի մոտավոր արժեքը 1 կգ ճշգրտությամբ հավելուրդով հաշվելիս չափման սխալանքը 867 գ է:

Որքա՞ն կլինի պակասորդով հաշվելու սխալանքը:
133գ

10. Հատվածի երկարությունը պակասորդով և հավելուրդով մոտավոր չափելիս ստացան հետևյալ արժեքները՝ 300 մմ  և 400 մմ :

Որքա՞ն է հատվածի երկարության ճշգրիտ արժեքը, եթե հայտնի է, որ երկու դեպքում էլ չափման սխալանքներն իրար հավասար են:
350+50=400
400-50=350

 

1․ Կատարիր հանում․

ա) -1 – 1 = -2

բ) 4 – 6 = -2

գ) 10 – 15= -5

դ) -1 – 3 = -4

ե) 0 – 15 = -15

զ) -2 – 2 = -4

է) -7 – 3 = -10

ը) -80 – 20 =-100

թ) 5 – (-5) = 10

ժ) 7 – (-3) = 10

ի) -3 – (-1) = 4

լ) -10 – (-5) = 15

2․ Կատարիր գործողությունները․
ա) (-2) • (|-4| – |-8|) = 8
բ) ((-3) • (-7) – (-2) • |-4|) • (-6) = -174
գ) (|-21| + |+4|) : (-5) = -5
դ) (|-9| + |-1|) : (18 – (-|6|))=

3. Կատարիր գումարում

ա) -5 + 7= 2

բ) -3 + 4 = 1

գ) -10 + 15 = 5

դ) -15 + 18 = 3

ե) -5 + (-5) = 0

զ) -7 + (-3) = -10

է) -15 + (-5) = -20

ը) -50 + (-50) = -100

4. Հետևյալ թվերին գումարիր 15․

-15, -5, -10, -3, 0, -20, -1, -30

-15 + 15 = 0
-5 + 15 = 10
-10 + 15 = 5
-3 + 15 = 12
0 + 15 = 15
-20 + 15 = -5
-1 + 15 = 14
-30 + 15 = -15

5․ Ինչի՞ է հավասար ամենամեծ բացասական ամբողջ թվի և ամենափոքր դրական ամբողջ թվի գումարը։

-1 + 1 = o

6․ Կատարիր գործողությունը․

ա) -27 + 2 =-25

բ) -3 – (-13) = 10

գ) 35 – 40 = -5

դ) -84 – 6 = -90

ե) -43 + 47 = 4

զ) -65 + 60 = -5

է) -21 – (-7) = -14

ը) 84 – 94 = -10

7. Աճման կարգով գրիր -35-ից մինչև -23 ամբողջ թվերը
-35, -34, -33, -32, -31, -30, -29, -28, -27, -26, -25, -24, -23

8․ Նվազման կարգով գրիր +7-ից մինչև -11 ամբողջ թվերը
7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11

9․ Աստղանիշի փոխարեն գրիր այնպիսի ամբողջ թիվ, որ ստացվի ճիշտ անհավասարություն․
ա) -100 < -84 < -54
բ) -45 < -41 < -39
գ) -344 < -331 < -330
դ) -78 < -68 < -1
ե) -1 < 1 < 2

զ) -94< -74 < -1

10. Կոորդինատային ուղղի վրա քանի՞ ամբողջ թիվ է գտնվում հետևյալ թվերի միջև․

ա) -5 և 3=7

բ) -11 և -8=3

գ) -23 և -10=13

դ) -4 և 4=8

11. Կատարիր բաժանում

ա) +56 ։ (-7) = -8
բ) -100 : (-5) = 20
գ) – 42 : (+6) = -7
դ) -36 : (-3) = 12

12․ Կատարիր բազմապատկում
ա) (-3) • (+4) = -12

բ) (+7) • (-14) = -98

գ) (-11) • (+7) = -77

դ) (+21) • (-5) = -105

Լրացուցիչ առաջադրանք

1. Կատարիր գործողությունը․

ա) 4 – (-3) =-7

բ) -2 – (-2) =-4

գ) -5 + (-15) =-20

դ) -26 + 6 =-20

ե) -11 – 19 =–30

զ) -14 – (-24) =38

է) -5 – (-5) =0

ը) 32 – 52 =-22

3․ Գրքում կա 300 էջ։ Անին կարդացել է գրքի 54%-ը։ Գրքի քանի՞ էջ դեռ պետք է կարդա Անին։
46%

4․ Քարտեզի վրա տեղանքի 130 կմ-ին համապատասխանող հատվածի երկարությունը 10 սմ է:
Որոշիր քարտեզի մասշտաբը:
1։1300

5․ Թվի 20%-ը այդ թվի ո՞ր մասն է կազմում։
20/100

Ձևակերպենք միևնույն նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարման կանոնը:

 Միևնույն նշաններով ռացիոնալ թվերը գումարելու համար պետք է՝

• գումարել թվերի մոդուլները
• արդյունքի դիմաց դնել գումարելիների ընդհանուր նշանը

Օրինակ

(−2/9) + (−4/3) = −(∣−2/9∣ + ∣−4/3∣) = −(2/9 + 4/3) = −14/9

Այսպիսով՝ (−2/9) + (−4/3) = −14/9

Տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարումը

Տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերը գումարելու համար պետք է՝

• մեծ մոդուլից հանել փոքր մոդուլը7
• արդյունքի դիմաց դնել մեծ մոդուլով գումարելու նշանը

Օրինակ

(−7/12) + (1/4) = −(∣−7/12∣ − ∣1/4∣) = −(7/12 − 1/4) = −4/12 = −1/3

 Այսպիսով՝ (−7/12) + (1/4) = −1/3

Ընդհանուր դեպքում ռացիոնալ թվերի գումարման համար ճիշտ է հետևյալ բանաձևը (սովորական կոտորակների գումարման բանաձևը)`

𝑝/𝑞 + 𝑚/𝑛 = (𝑝⋅𝑛+𝑞⋅𝑚)/(𝑞⋅𝑛)

Դասարանական աշխատանք

1. Կատարիր միևնույն նշանով ռացիոնալ թվերի գումարում.

ա) (-3/10) + (-4/10) =-7/10

բ) (+1/4) + (+2/4) =3/8

գ) (-3 3/7) + (-5 3/7) = -8 6/14

դ) (+9 1/5) + (+5 1/5) =14 2/10

ե) (-1 3/10) + (-1 1/10) =-2 4/10

զ) (-2/3) + (-2/9) =-4 12

2. Կատարիր տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարում.

ա) (+8) + (−4/5) =44/5

բ) (+1/4) + (-2/3) =-11/12

գ) (+5/8) + (-1/5) =33/40

դ) (+1/17) + (-9 10/17) =18/17

ե) (+18/8) + (-31/8) =26/31

զ) (+1 1/25) + (−4/15) =26/25

3. Կիրառելով pq + mn = 𝑝⋅𝑛+𝑞⋅𝑚q⋅m բանաձևը, գտիր ռացիոնալ թվերի գումարը:

7/22 +(−1/35) =7*35+22*1/22*1=5874

4. Ո՞ր ռացիոնալ թիվն է 21/36-ով փոքր −18-ից:
3/35

5. Հաշվիր.

(−57/17) + (−33/17)=-90/17

Ընտրիր ճիշտ պատասխանները.

• 33/17 + (−57/17)
• −90/17
• 33/17 + 57/17
• −(|−57/17| + |−33/17|)
• 90/17
• −(33/17 + 57/17)

1*. Պարախմբում կա 39 տղա և 23 աղջիկ: Ամեն շաբաթ խմբին միանում են 6 տղա և 8 աղջիկ: Մի քանի շաբաթ անց պարախմբում տղաների և աղջիկների թիվը հավասարվում է: Քանի՞ աղջիկ և տղա կլինի պարախմբում այդ ժամանակ:

2*.   Լևոնը ընտրեց մի թիվ, այն բազմապատկեց իրենով, ստացվածից հանեց 2, արդյունքը բազմապատկեց 3-ով, հետո գումարեց 4, ապա ստացված թիվը բաժանեց 5-ի և ստացավ 29: Ի՞նչ թիվ էր ընտրել Լևոնը:

Լրացուցիչ առաջադրանք

1. Կատարիր միևնույն նշանով ռացիոնալ թվերի գումարում.

ա) (-1/5) + (-3/5) =-4/5

բ) (+10/47) + (+2/47) =12/47

գ) (-2 5/9) + (-6 1/9) =-8 6/9

դ) (+8 1/5) + (+8 1/5) =16 2/5

2. Կատարիր տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարում.

ա) (+7/5) + (−4/5) =+11/5

բ) (+4/7) + (-3/14) =-11/14

գ) (+5/8) + (-3/4) =30/8

դ) (+2/15) + (-7 1/15) =-106/15

3. Ո՞ր ռացիոնալ թիվն է 1/5-ով մեծ −4-ից:
5/5

4. Եթե եռանիշ թվին ձախից կցագրենք 5 թվանշանը, ապակստանանք 792-ով ավելի մեծթիվ, քան աջից 5 կցագրելիս։Գտեք սկզբնական եռանիշթիվը։

5. Սանդուղքն ունի 21 աստիճան։ Աշոտը և Միքայելը հաշվում են աստիճանները՝ մեկը շարժվելով վերևից ներքև, մյուսը՝ ներքևից վերև։ Նրանք հանդիպեցին Աշոտի հաշվարկով 10-րդ աստիճանի վրա։ Միքայելի հաշվարկով ո՞ր աստիճանի վրա նրանք հանդիպեցին։

ա) 13        բ) 14         գ) 11          դ) 12          ե) 10

1. Գրիր հետևյալ թվերի բացարձակ արժեքները.

ա) |-7 2/9| = 7 9/2

բ) |0| =0

գ) |-9 7/8| =9 8/7

դ) |-10 87/100| =10 100/87

ե) |+3 3/4| =3 4/3

զ) |-6 27/71| =6 71/27

2.  Համեմատիր հետևյալ ռացիոնալ թվերը.

ա) -5/3 <3/5

բ) -1/2>-2/3

գ) 7/3 < 15/4

դ) 4/7 > -2/9

3. Կատարիր գործողությունները.

ա) 1/2 + 3/2 =4/2

բ) 4/5 – 1/5 =5/5

գ) -7/9 – 1/9 =-8/9

դ) -9/15 + 3/15 =-12/15

ե) -3/4 + (-1/4) =-4/4

զ) -6/7 – (-2/7) =-8/7

4. Կոտորակները բեր ընդհանուր հայտարարի.

ա) 3/7 և 2/14 6/14 և 2/14

բ)  12/15 > 4/25 60/75 12/75

գ) 7/9 և 4/10 70/90 36/90

դ) 20/50 և 5/25 15/50 20/50

ե) 23/30 և 2/90 69/90 2/90

զ) 5/17 և 4/34 10/34 4/34

5. Կատարիր գործողությունները.

ա) 1/14 – 3/7 =7/14

բ)  -7/9 + 5/10 = 70/45=115

գ) -3/4 + (-5/20) =-20/20

դ) -5/6 – 3/8 = -20-9/24=-11/24

ե) -8/9 – (-4/6) =-16+12/18=-4/18

զ) 5/7 – (-3/56) =40+3/56=43/56

1*. Հայրը 9 անգամ մեծ է որդուց, իսկ 1 տարի հետո 7 անգամ մեծ կլինի։Քանի՞ տարեկան է հայրը։

2*. Լևոնը ընտրեց մի թիվ, այն բազմապատկեց իրենով, ստացվածից հանեց 2, արդյունքը բազմապատկեց 3-ով, հետո գումարեց 4, ապա ստացված թիվը բաժանեց 5-ի և ստացավ 29: Ի՞նչ թիվ էր ընտրել Լևոնը:

7

Լրացուցիչ առաջադրանք

1. Համեմատիր հետևյալ ռացիոնալ թվերը.

ա) -1/3 < -3/5

բ) 7/2 > -2/3

գ) 2/9 > -17/7

դ) 3/8 < 8/9

2. Կոտորակները բեր ընդհանուր հայտարարի.

ա) 1/6 և 3/4=2/12 և 9/12

բ)  11/5 և 3/25=55/25 և3/25

գ) 8/9 և 1/6 =16/18 և 3/18

դ) 17/34 և 5/17=17/34 և 10/34

3. Կատարիր գործողությունները.

ա) 1/4 – 2/7 = -1/28

բ)  -3/2 + 3/10 = -12/10

գ) -5/4 + (-5/6) =-5/12

դ) -3/25 – 4/15 =-29/75

4. Գտնել այն բոլոր կանոնավոր կոտորակների գումարը, որոնց հայտարարը փոքր է 5-ից։
1/2+1/3+2/3+1/4+ 2/4+3/4=36/12=3

5․ Ժամը քանի՞սն է հիմա, եթե հայտնի է, որ կեսօրից անցել է 4 անգամ քիչ ժամանակ, քան մնացել է օրվա ավարտին։

ա) 14 անց 24 րոպե

բ) 15 անց 00 րոպե 

գ) 16 անց 48 րոպե

դ) այլ պատասխան

Մենք արդեն ծանոթ ենք կոորդինատային հարթության գաղափարին: Գիտենք, որ ամբողջ կոորդինատներով ցանկացած կետ պատկերվում է այդ հարթության վրա:

Օրինակ՝ ներքևի նկարում 𝐺(1;0),𝐻(0;−1),𝐹(−1;0) կետերը գտնվում են կոորդինատային առանցքների վրա և ունեն ամբողջ կոորդինատներ:

Ամբողջ կոորդինատներ ունեն նաև 𝐾(2;2),𝑃(−1;1) կետերը:

Դրանում կարելի է համոզվել՝ նկատելով, որ միավոր հատվածի երկարությունը 2 վանդակ է:

𝐾 կետի աբսցիսը հավասար է 4 վանդակի (𝑂(0;0) սկզբնակետից դեպի աջ), իսկ օրդինատը՝ 4 վանդակի (դեպի վերև):

Նույն ձևով տեսնում ենք, որ 𝑃 կետի աբսցիսը հավասար է 2 վանդակի(դեպի ձախ), իսկ օրդինատը՝ 2 վանդակի (դեպի վերև):

Իսկ ի՞նչ կոորդինատներ ունի, օրինակ՝ 𝑀 կետը:

Նկատում ենք, որ 𝑀 կետի աբսցիսը հավասար է 1 վանդակի (դեպի աջ), իսկ օրդինատը՝ 2 վանդակի (դեպի վերև):

Քանի որ մեկ միավոր հատվածի երկարությունը 2 վանդակ է, ապա 1 վանդակը հավասար է միավոր հատվածի կեսին՝ 1/2 միավոր:

Այսպիսով 𝑀 կետի կոորդինատներն են՝ 𝑀(1/2;1)

Տեսնում ենք, որ կոորդինատային հարթության վրա կան կետեր, որոնց կոորդինատները կոտորակային թվեր են:

Օրինակ

Գտնենք վերևի նկարի 𝐴 կետի կոորդինատները:

𝐴 կետի աբսցիսը հավասար է 4 վանդակի (դեպի աջ), իսկ օրդինատը՝ 3 վանդակի (դեպի վերև): Հիշենք, որ 2 վանդակը մեկ միավոր հատված է: Ուրեմն, 3 վանդակը ունի ևս 1/2 միավոր, իսկ 4 վանդակը հավասար է 2 միավոր հատվածի:

Այսպիսով, 𝐴 կետի կոորդինատներն են՝  𝐴(2; 1 1/2)

Նույն ձևով գտնում ենք մյուս կետերի կոորդինատները՝

𝐵(−2; 1 1/2), 𝐶(−2; −1 1/2), 𝐷(2; −1 1/2), 𝑇(1/2; 2)

Տեսնում ենք, որ կոորդինատային հարթության կետերի կոորդինատները կարող են լինել ոչ միայն ամբողջ թվեր, այլ նաև դրական կամ բացասական կոտորակներ և խառը թվեր:

Հիշենք, որ այդ թվերի համախմբությունը կազմում է ռացիոնալ թվերի բազմությունը:

Դասարանական աշխատանք

1. Նշիր 𝑀(−1/9; 1/13) կետի օրդինատը:

2. Կոորդինատային հարթության վրա նշված են 𝑥 և 𝑦 կոորդինատներով կետեր:

Որոշիր 𝐶 կետի կոորդինատները:
4

3. 𝐺(1/8; 0) կետը գտնվում է կոորդինատային առանցքներից մեկի վրա:

Ո՞ր առանցքի վրա է գտնվում 𝐺 կետը:
2

4. Ո՞ ր քառորդում է գտնվում 𝐴(15 1/6; −34 1/11) կետը:
4

5. 𝐴(0;0); 𝐶(1/13; 1/54); 𝐷(1/13; 0) կետերը 𝐴𝐵𝐶𝐷 ուղղանկյան երեք գագաթներն են:

Գտիր 𝐵-ի՝ չորրորդ գագաթի կոորդինատները:

6. 𝐿(8/17; −16/29), 𝐷(−8/17; 16/29), 𝑀(−8/17; −16/29), 𝐶(8/17; 16/29) կետերից ո՞րն է գտնվում 𝐼𝐼𝐼-րդ քառորդում:

7. 8 սմ երկարությամբ հատվածը որպես միավոր վերցված կոորդինատային առանցքի վրա պատկերիր 0, 1/8, 2/8, 3/8, 4/8, 5/8, 6/8, 7/8, 8/8, 10/8, 11/8, 12/8 կետերը։

8. Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերիր հետևյալ կետերը.

ա) A (-1 1/2)

բ) B (-1 1/5)

գ) C (-3 1/2)

դ) D (-4 1/2)

9. Կոորդինատային հարթության վրա պատկերիր հետևյալ կետերը.

1*. 5 գրիչի և 4 մատիտի համար վճարեցին 610 դրամ, իսկ նույնպիսի 2 գրիչի և 2 մատիտի համար 260 դրամ։ Քանի՞ դրամ պետք է վճարել 6 գրիչի և 5 մատիտի համար։

2*. Եթե մտապահված թվի եռապատիկին գումարենք 4 և ստացված թիվը բաժանենք 7-ի, ապա կստանանք 13։ Գտնել մտապահված թվի թվանշանների գումարը։

Լրացուցիչ աշխատանք

1.  4 սմ երկարությամբ հատվածն ընդունելով որպես միավոր հատված՝ կոորդինատային առանցքի վրա պատկերիր հետևյալ կետերը.

2. Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերիր A (1/2), B (2), C (2 3/4) կետերը։ Հաշվիր AB, BC, AC հատվածների երկարությունները։

3. Կոորդինատային հարթության վրա պատկերիր հետևյալ կետերը.

4. Օպերատորը օրական 6 ժամ աշխատելով, 3 օրում կարող է 45 էջ մուտքագրել։ Նա օրական քանի՞ ժամ պետք է աշխատի, որ 8 օրում 160 էջ մուտքագրի։
8